다음을 풀어보세요: {l}{4x+2y=20}{-4x+3y=20}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x + 2 y = 20 }\\{ - 4 x + 3 y = 20 }\end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+2y=20,-4x+3y=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+2y=20$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$4x=-2y+20$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+20\right)$$

\frac{1}{4}에 -2y+20을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+5$$

다른 수식 -4x+3y=20에서 -\frac{y}{2}+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+5\right)+3y=20$$

-4에 -\frac{y}{2}+5을(를) 곱합니다.

$$2y-20+3y=20$$

2y을(를) 3y에 추가합니다.

$$5y-20=20$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$5y=40$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=8$$

x=-\frac{1}{2}y+5에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+5$$

-\frac{1}{2}에 8을(를) 곱합니다.

$$x=-4+5$$

5을(를) -4에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=8$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+2y=20,-4x+3y=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{4\times 3-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-2\left(-4\right)}&\frac{4}{4\times 3-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\\\frac{1}{5}\times 20+\frac{1}{5}\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=8$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+2y=20,-4x+3y=20$$

4x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-4\times 4x-4\times 2y=-4\times 20,4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 20$$

단순화합니다.

$$-16x-8y=-80,-16x+12y=80$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -16x-8y=-80에서 -16x+12y=80을(를) 뺍니다.

$$-16x+16x-8y-12y=-80-80$$

-16x을(를) 16x에 추가합니다. -16x 및 16x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-8y-12y=-80-80$$

-8y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-20y=-80-80$$

-80을(를) -80에 추가합니다.

$$-20y=-160$$

양쪽을 -20(으)로 나눕니다.

$$y=8$$

-4x+3y=20에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x+3\times 8=20$$

3에 8을(를) 곱합니다.

$$-4x+24=20$$

수식의 양쪽에서 24을(를) 뺍니다.

$$-4x=-4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=8$$