다음을 풀어보세요: {l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-5x+y=-11$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$-5x=-y-11$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

-\frac{1}{5}에 -y-11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

다른 수식 4x-6y=14에서 \frac{11+y}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

4에 \frac{11+y}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

\frac{4y}{5}을(를) -6y에 추가합니다.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

수식의 양쪽에서 \frac{44}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{26}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

\frac{1}{5}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{11}{5}을(를) -\frac{1}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=-1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

-5x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱합니다.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

단순화합니다.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -20x+4y=-44에서 -20x+30y=-70을(를) 뺍니다.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

-20x을(를) 20x에 추가합니다. -20x 및 20x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y-30y=-44+70$$

4y을(를) -30y에 추가합니다.

$$-26y=-44+70$$

-44을(를) 70에 추가합니다.

$$-26y=26$$

양쪽을 -26(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

4x-6y=14에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

-6에 -1을(를) 곱합니다.

$$4x+6=14$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$4x=8$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-1$$