다음을 풀어보세요: {l}{x^2/16-y^2/25=1}{125x-48y=481}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 25 } = 1 }\\{ 125 x - 48 y = 481 }\end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{108\sqrt{481}}{2405}+5\approx 4.015124774\text{, }y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\approx 0.435220767$$

$$x=\frac{108\sqrt{481}}{2405}+5\approx 5.984875226\text{, }y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\approx 5.564779233$$

대입 및 근의 공식을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 16,25의 최소 공통 배수인 400(으)로 곱합니다.

$$25x^{2}-16y^{2}=400$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$125x-48y=481,-16y^{2}+25x^{2}=400$$

등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대해 125x-48y=481을(를) 풉니다.

$$125x-48y=481$$

수식의 양쪽에서 -48y을(를) 뺍니다.

$$125x=48y+481$$

양쪽을 125(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}$$

다른 수식 -16y^{2}+25x^{2}=400에서 \frac{48}{125}y+\frac{481}{125}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-16y^{2}+25\left(\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}\right)^{2}=400$$

\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}을(를) 제곱합니다.

$$-16y^{2}+25\left(\frac{2304}{15625}y^{2}+\frac{46176}{15625}y+\frac{231361}{15625}\right)=400$$

25에 \frac{2304}{15625}y^{2}+\frac{46176}{15625}y+\frac{231361}{15625}을(를) 곱합니다.

$$-16y^{2}+\frac{2304}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y+\frac{231361}{625}=400$$

-16y^{2}을(를) \frac{2304}{625}y^{2}에 추가합니다.

$$-\frac{7696}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y+\frac{231361}{625}=400$$

수식의 양쪽에서 400을(를) 뺍니다.

$$-\frac{7696}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y-\frac{18639}{625}=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2}을(를) a로, 25\times \frac{481}{125}\times \frac{48}{125}\times 2을(를) b로, -\frac{18639}{625}을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\left(\frac{46176}{625}\right)^{2}-4\left(-\frac{7696}{625}\right)\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

25\times \frac{481}{125}\times \frac{48}{125}\times 2을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976}{390625}-4\left(-\frac{7696}{625}\right)\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

-4에 -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976}{390625}+\frac{30784}{625}\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{30784}{625}에 -\frac{18639}{625}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976-573782976}{390625}}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2132222976}{390625}을(를) -\frac{573782976}{390625}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2493504}{625}}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

\frac{2493504}{625}의 제곱근을 구합니다.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

2에 -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}}을(를) 풉니다. -\frac{46176}{625}을(를) \frac{72\sqrt{481}}{25}에 추가합니다.

$$y=\frac{\frac{72\sqrt{481}}{25}-\frac{46176}{625}}{-\frac{15392}{625}}$$

-\frac{46176}{625}+\frac{72\sqrt{481}}{25}에 -\frac{15392}{625}의 역수를 곱하여 -\frac{46176}{625}+\frac{72\sqrt{481}}{25}을(를) -\frac{15392}{625}(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}}을(를) 풉니다. -\frac{46176}{625}에서 \frac{72\sqrt{481}}{25}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{-\frac{72\sqrt{481}}{25}-\frac{46176}{625}}{-\frac{15392}{625}}$$

-\frac{46176}{625}-\frac{72\sqrt{481}}{25}에 -\frac{15392}{625}의 역수를 곱하여 -\frac{46176}{625}-\frac{72\sqrt{481}}{25}을(를) -\frac{15392}{625}(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$

y: 3-\frac{225\sqrt{481}}{1924} 및 3+\frac{225\sqrt{481}}{1924}에 대해 두 개의 해답이 있습니다. 방정식 x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}에서 3-\frac{225\sqrt{481}}{1924}을(를) y(으)로 치환해서 두 수식을 모두 만족하는 x에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$x=\frac{48}{125}\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+\frac{481}{125}$$

\frac{48}{125}에 3-\frac{225\sqrt{481}}{1924}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{48\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125}$$

수식 x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}에서 3+\frac{225\sqrt{481}}{1924}을(를) y(으)로 치환하고 해답을 찾아서 두 수식을 모두 충족하는 x에 대한 해당 해답을 찾습니다.

$$x=\frac{48}{125}\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+\frac{481}{125}$$

\frac{48}{125}에 3+\frac{225\sqrt{481}}{1924}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{48\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{48\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125},y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\text{ or }x=\frac{48\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125},y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$