다음을 풀어보세요: {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=5$$

$$y=17$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 -1과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 y+1,3의 최소 공통 배수인 3\left(y+1\right)(으)로 곱합니다.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

분배 법칙을 사용하여 3에 x+1(을)를 곱합니다.

$$3x+3=y+1$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x+3-y=1$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$3x-y=1-3$$

1에서 3을(를) 빼고 -2을(를) 구합니다.

$$3x-y=-2$$

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 1과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 y-1,4의 최소 공통 배수인 4\left(y-1\right)(으)로 곱합니다.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

분배 법칙을 사용하여 4에 x-1(을)를 곱합니다.

$$4x-4=y-1$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$4x-4-y=-1$$

양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$4x-y=-1+4$$

-1과(와) 4을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$4x-y=3$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-y=-2$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$3x=y-2$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

\frac{1}{3}에 y-2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

다른 수식 4x-y=3에서 \frac{-2+y}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

4에 \frac{-2+y}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

\frac{4y}{3}을(를) -y에 추가합니다.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

수식의 양쪽에 \frac{8}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$y=17$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}에서 y을(를) 17(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3}에 17을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{2}{3}을(를) \frac{17}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=17$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 -1과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 y+1,3의 최소 공통 배수인 3\left(y+1\right)(으)로 곱합니다.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

분배 법칙을 사용하여 3에 x+1(을)를 곱합니다.

$$3x+3=y+1$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x+3-y=1$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$3x-y=1-3$$

1에서 3을(를) 빼고 -2을(를) 구합니다.

$$3x-y=-2$$

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 1과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 y-1,4의 최소 공통 배수인 4\left(y-1\right)(으)로 곱합니다.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

분배 법칙을 사용하여 4에 x-1(을)를 곱합니다.

$$4x-4=y-1$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$4x-4-y=-1$$

양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$4x-y=-1+4$$

-1과(와) 4을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$4x-y=3$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=5,y=17$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 -1과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 y+1,3의 최소 공통 배수인 3\left(y+1\right)(으)로 곱합니다.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

분배 법칙을 사용하여 3에 x+1(을)를 곱합니다.

$$3x+3=y+1$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x+3-y=1$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$3x-y=1-3$$

1에서 3을(를) 빼고 -2을(를) 구합니다.

$$3x-y=-2$$

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 1과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 y-1,4의 최소 공통 배수인 4\left(y-1\right)(으)로 곱합니다.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

분배 법칙을 사용하여 4에 x-1(을)를 곱합니다.

$$4x-4=y-1$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$4x-4-y=-1$$

양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$4x-y=-1+4$$

-1과(와) 4을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$4x-y=3$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x-y=-2에서 4x-y=3을(를) 뺍니다.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

-y을(를) y에 추가합니다. -y 및 y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3x-4x=-2-3$$

3x을(를) -4x에 추가합니다.

$$-x=-2-3$$

-2을(를) -3에 추가합니다.

$$-x=-5$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

4x-y=3에서 x을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4\times 5-y=3$$

4에 5을(를) 곱합니다.

$$20-y=3$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$-y=-17$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=17$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=17$$