다음을 풀어보세요: {r}{x+4y=25}{-4x+3y=52}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-7$$

$$y=8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+4y=25$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$x=-4y+25$$

다른 수식 -4x+3y=52에서 -4y+25을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

-4에 -4y+25을(를) 곱합니다.

$$16y-100+3y=52$$

16y을(를) 3y에 추가합니다.

$$19y-100=52$$

수식의 양쪽에 100을(를) 더합니다.

$$19y=152$$

양쪽을 19(으)로 나눕니다.

$$y=8$$

x=-4y+25에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-4\times 8+25$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=-32+25$$

25을(를) -32에 추가합니다.

$$x=-7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-7,y=8$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-7,y=8$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

단순화합니다.

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -4x-16y=-100에서 -4x+3y=52을(를) 뺍니다.

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

-4x을(를) 4x에 추가합니다. -4x 및 4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-16y-3y=-100-52$$

-16y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-19y=-100-52$$

-100을(를) -52에 추가합니다.

$$-19y=-152$$

양쪽을 -19(으)로 나눕니다.

$$y=8$$

-4x+3y=52에서 y을(를) 8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x+3\times 8=52$$

3에 8을(를) 곱합니다.

$$-4x+24=52$$

수식의 양쪽에서 24을(를) 뺍니다.

$$-4x=28$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-7,y=8$$