다음을 풀어보세요: {r}{a+b=20}{6a+2b=20}

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=-5$$

$$b=25$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$a+b=20$$

수식의 양쪽에서 b을(를) 뺍니다.

$$a=-b+20$$

다른 수식 6a+2b=20에서 -b+20을(를) a(으)로 치환합니다.

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

6에 -b+20을(를) 곱합니다.

$$-6b+120+2b=20$$

-6b을(를) 2b에 추가합니다.

$$-4b+120=20$$

수식의 양쪽에서 120을(를) 뺍니다.

$$-4b=-100$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$b=25$$

a=-b+20에서 b을(를) 25(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-25+20$$

20을(를) -25에 추가합니다.

$$a=-5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-5,b=25$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=-5,b=25$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

a 및 6a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

단순화합니다.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6a+6b=120에서 6a+2b=20을(를) 뺍니다.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

6a을(를) -6a에 추가합니다. 6a 및 -6a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6b-2b=120-20$$

6b을(를) -2b에 추가합니다.

$$4b=120-20$$

120을(를) -20에 추가합니다.

$$4b=100$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$b=25$$

6a+2b=20에서 b을(를) 25(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6a+2\times 25=20$$

2에 25을(를) 곱합니다.

$$6a+50=20$$

수식의 양쪽에서 50을(를) 뺍니다.

$$6a=-30$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$a=-5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-5,b=25$$