다음을 풀어보세요: {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$8x+y=21$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$8x=-y+21$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

\frac{1}{8}에 -y+21을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

다른 수식 24x-5y=23에서 \frac{-y+21}{8}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

24에 \frac{-y+21}{8}을(를) 곱합니다.

$$-3y+63-5y=23$$

-3y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-8y+63=23$$

수식의 양쪽에서 63을(를) 뺍니다.

$$-8y=-40$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

-\frac{1}{8}에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{21}{8}을(를) -\frac{5}{8}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

8x 및 24x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 24을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱합니다.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

단순화합니다.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 192x+24y=504에서 192x-40y=184을(를) 뺍니다.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

192x을(를) -192x에 추가합니다. 192x 및 -192x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$24y+40y=504-184$$

24y을(를) 40y에 추가합니다.

$$64y=504-184$$

504을(를) -184에 추가합니다.

$$64y=320$$

양쪽을 64(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

24x-5y=23에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$24x-5\times 5=23$$

-5에 5을(를) 곱합니다.

$$24x-25=23$$

수식의 양쪽에 25을(를) 더합니다.

$$24x=48$$

양쪽을 24(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=5$$