다음을 풀어보세요: {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=4$$

$$y=8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5y+x=44,y-x=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$5y+x=44$$

수식의 양쪽에서 x을(를) 뺍니다.

$$5y=-x+44$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

\frac{1}{5}에 -x+44을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

다른 수식 y-x=4에서 \frac{-x+44}{5}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

-\frac{x}{5}을(를) -x에 추가합니다.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{44}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{6}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=4$$

y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}에서 x을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

-\frac{1}{5}에 4을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{44}{5}을(를) -\frac{4}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=8,x=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5y+x=44,y-x=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=8,x=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5y+x=44,y-x=4$$

5y 및 y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

단순화합니다.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5y+x=44에서 5y-5x=20을(를) 뺍니다.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

5y을(를) -5y에 추가합니다. 5y 및 -5y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$x+5x=44-20$$

x을(를) 5x에 추가합니다.

$$6x=44-20$$

44을(를) -20에 추가합니다.

$$6x=24$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

y-x=4에서 x을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y-4=4$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$y=8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=8,x=4$$