다음을 풀어보세요: {r}{4x-y=1}{3x+y=9}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - y = 1 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-y=1$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$4x=y+1$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

\frac{1}{4}에 y+1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

다른 수식 3x+y=9에서 \frac{1+y}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=9$$

3에 \frac{1+y}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}+y=9$$

\frac{3y}{4}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{4}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{4}을(를) 뺍니다.

$$\frac{7}{4}y=\frac{33}{4}$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{33}{7}$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}에서 y을(를) \frac{33}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{33}{7}+\frac{1}{4}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{1}{4}에 \frac{33}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{33}{28}+\frac{1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{4}을(를) \frac{33}{28}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{10}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

4x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3,4\times 3x+4y=4\times 9$$

단순화합니다.

$$12x-3y=3,12x+4y=36$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x-3y=3에서 12x+4y=36을(를) 뺍니다.

$$12x-12x-3y-4y=3-36$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-3y-4y=3-36$$

-3y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-7y=3-36$$

3을(를) -36에 추가합니다.

$$-7y=-33$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{33}{7}$$

3x+y=9에서 y을(를) \frac{33}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+\frac{33}{7}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{33}{7}을(를) 뺍니다.

$$3x=\frac{30}{7}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{10}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$