다음을 풀어보세요: {r}{4x+3y=17}{3x-4y+6=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 17 } \\ { 3 x - 4 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+3y=17$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$4x=-3y+17$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+17\right)$$

\frac{1}{4}에 -3y+17을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}$$

다른 수식 3x-4y+6=0에서 \frac{-3y+17}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}\right)-4y+6=0$$

3에 \frac{-3y+17}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{51}{4}-4y+6=0$$

-\frac{9y}{4}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{51}{4}+6=0$$

\frac{51}{4}을(를) 6에 추가합니다.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{75}{4}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{75}{4}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{25}{4}y=-\frac{75}{4}$$

수식의 양쪽을 -\frac{25}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{17}{4}$$

-\frac{3}{4}에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{17}{4}을(를) -\frac{9}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 17+\frac{3}{25}\left(-6\right)\\\frac{3}{25}\times 17-\frac{4}{25}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

4x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 17,4\times 3x+4\left(-4\right)y+4\times 6=0$$

단순화합니다.

$$12x+9y=51,12x-16y+24=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x+9y=51에서 12x-16y+24=0을(를) 뺍니다.

$$12x-12x+9y+16y-24=51$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$9y+16y-24=51$$

9y을(를) 16y에 추가합니다.

$$25y-24=51$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$25y=75$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

3x-4y+6=0에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x-4\times 3+6=0$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$3x-12+6=0$$

-12을(를) 6에 추가합니다.

$$3x-6=0$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$3x=6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=3$$