다음을 풀어보세요: {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$10x-10y=-10$$

수식의 양쪽에 10y을(를) 더합니다.

$$10x=10y-10$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

\frac{1}{10}에 -10+10y을(를) 곱합니다.

$$x=y-1$$

다른 수식 -10x+8y=12에서 y-1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

-10에 y-1을(를) 곱합니다.

$$-10y+10+8y=12$$

-10y을(를) 8y에 추가합니다.

$$-2y+10=12$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$-2y=2$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

x=y-1에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-1-1$$

-1을(를) -1에 추가합니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=-1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

10x 및 -10x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -10을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 10을(를) 곱합니다.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

단순화합니다.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -100x+100y=100에서 -100x+80y=120을(를) 뺍니다.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

-100x을(를) 100x에 추가합니다. -100x 및 100x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$100y-80y=100-120$$

100y을(를) -80y에 추가합니다.

$$20y=100-120$$

100을(를) -120에 추가합니다.

$$20y=-20$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

-10x+8y=12에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

8에 -1을(를) 곱합니다.

$$-10x-8=12$$

수식의 양쪽에 8을(를) 더합니다.

$$-10x=20$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=-1$$