다음을 풀어보세요: {r}{1.2x+3y=8}{6x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { r } { 1.2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2.5$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$1.2x+3y=8$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$1.2x=-3y+8$$

수식의 양쪽을 1.2(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=\frac{5}{6}\left(-3y+8\right)$$

\frac{5}{6}에 -3y+8을(를) 곱합니다.

$$x=-2.5y+\frac{20}{3}$$

다른 수식 6x-3y=10에서 -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(-2.5y+\frac{20}{3}\right)-3y=10$$

6에 -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3}을(를) 곱합니다.

$$-15y+40-3y=10$$

-15y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-18y+40=10$$

수식의 양쪽에서 40을(를) 뺍니다.

$$-18y=-30$$

양쪽을 -18(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{5}{3}$$

x=-2.5y+\frac{20}{3}에서 y을(를) \frac{5}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2.5\times \frac{5}{3}+\frac{20}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -2.5에 \frac{5}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{25}{6}+\frac{20}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{20}{3}을(를) -\frac{25}{6}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{1.2}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}&\frac{5}{36}\\\frac{5}{18}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}\times 8+\frac{5}{36}\times 10\\\frac{5}{18}\times 8-\frac{1}{18}\times 10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2.5,y=\frac{5}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

\frac{6x}{5} 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1.2을(를) 곱합니다.

$$6\times 1.2x+6\times 3y=6\times 8,1.2\times 6x+1.2\left(-3\right)y=1.2\times 10$$

단순화합니다.

$$7.2x+18y=48,7.2x-3.6y=12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 7.2x+18y=48에서 7.2x-3.6y=12을(를) 뺍니다.

$$7.2x-7.2x+18y+3.6y=48-12$$

\frac{36x}{5}을(를) -\frac{36x}{5}에 추가합니다. \frac{36x}{5} 및 -\frac{36x}{5}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$18y+3.6y=48-12$$

18y을(를) \frac{18y}{5}에 추가합니다.

$$21.6y=48-12$$

48을(를) -12에 추가합니다.

$$21.6y=36$$

수식의 양쪽을 21.6(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{5}{3}$$

6x-3y=10에서 y을(를) \frac{5}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-3\times \frac{5}{3}=10$$

-3에 \frac{5}{3}을(를) 곱합니다.

$$6x-5=10$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$6x=15$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$