x, y에 대한 해
x=7
y=13
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\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8
\frac{1}{2}에 x+1을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8
\frac{1}{3}에 y-1을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{2}을(를) -\frac{1}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}
수식의 양쪽에서 \frac{1}{6}을(를) 뺍니다.
\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}
수식의 양쪽에서 \frac{y}{3}을(를) 뺍니다.
x=2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}\right)
양쪽에 2을(를) 곱합니다.
x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}
2에 -\frac{y}{3}+\frac{47}{6}을(를) 곱합니다.
\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9
다른 수식 \frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9에서 \frac{-2y+47}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.
\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{44}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9
\frac{47}{3}을(를) -1에 추가합니다.
-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9
\frac{1}{3}에 \frac{-2y+44}{3}을(를) 곱합니다.
-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9
\frac{1}{2}에 y+1을(를) 곱합니다.
\frac{5}{18}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}=9
-\frac{2y}{9}을(를) \frac{y}{2}에 추가합니다.
\frac{5}{18}y+\frac{97}{18}=9
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{44}{9}을(를) \frac{1}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
\frac{5}{18}y=\frac{65}{18}
수식의 양쪽에서 \frac{97}{18}을(를) 뺍니다.
y=13
수식의 양쪽을 \frac{5}{18}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
x=-\frac{2}{3}\times 13+\frac{47}{3}
x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}에서 y을(를) 13(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=\frac{-26+47}{3}
-\frac{2}{3}에 13을(를) 곱합니다.
x=7
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{47}{3}을(를) -\frac{26}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=7,y=13
시스템이 이제 해결되었습니다.
\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8
첫 번째 수식을 단순화하여 표준 형식으로 만듭니다.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8
\frac{1}{2}에 x+1을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8
\frac{1}{3}에 y-1을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{2}을(를) -\frac{1}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}
수식의 양쪽에서 \frac{1}{6}을(를) 뺍니다.
\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9
두 번째 수식을 단순화하여 표준 형식으로 만듭니다.
\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9
\frac{1}{3}에 x-1을(를) 곱합니다.
\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9
\frac{1}{2}에 y+1을(를) 곱합니다.
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=9
공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{3}을(를) \frac{1}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{53}{6}
수식의 양쪽에서 \frac{1}{6}을(를) 뺍니다.
\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\times \frac{47}{6}-\frac{12}{5}\times \frac{53}{6}\\-\frac{12}{5}\times \frac{47}{6}+\frac{18}{5}\times \frac{53}{6}\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=7,y=13
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}