다음을 풀어보세요: {l}{y=x+1500}{0.06x+0.10y=1070}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1500 } \\ { 0.06 x + 0.10 y = 1070 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=5750$$

$$y=7250$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=1500$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-x=1500$$

수식의 양쪽에 x을(를) 더합니다.

$$y=x+1500$$

다른 수식 0.1y+0.06x=1070에서 x+1500을(를) y(으)로 치환합니다.

$$0.1\left(x+1500\right)+0.06x=1070$$

0.1에 x+1500을(를) 곱합니다.

$$0.1x+150+0.06x=1070$$

\frac{x}{10}을(를) \frac{3x}{50}에 추가합니다.

$$0.16x+150=1070$$

수식의 양쪽에서 150을(를) 뺍니다.

$$0.16x=920$$

수식의 양쪽을 0.16(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=5750$$

y=x+1500에서 x을(를) 5750(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=5750+1500$$

1500을(를) 5750에 추가합니다.

$$y=7250$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=7250,x=5750$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=1500$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-\left(-0.1\right)}&-\frac{-1}{0.06-\left(-0.1\right)}\\-\frac{0.1}{0.06-\left(-0.1\right)}&\frac{1}{0.06-\left(-0.1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375&6.25\\-0.625&6.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375\times 1500+6.25\times 1070\\-0.625\times 1500+6.25\times 1070\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7250\\5750\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=7250,x=5750$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=1500$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

y 및 \frac{y}{10}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 0.1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$0.1y+0.1\left(-1\right)x=0.1\times 1500,0.1y+0.06x=1070$$

단순화합니다.

$$0.1y-0.1x=150,0.1y+0.06x=1070$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 0.1y-0.1x=150에서 0.1y+0.06x=1070을(를) 뺍니다.

$$0.1y-0.1y-0.1x-0.06x=150-1070$$

\frac{y}{10}을(를) -\frac{y}{10}에 추가합니다. \frac{y}{10} 및 -\frac{y}{10}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-0.1x-0.06x=150-1070$$

-\frac{x}{10}을(를) -\frac{3x}{50}에 추가합니다.

$$-0.16x=150-1070$$

150을(를) -1070에 추가합니다.

$$-0.16x=-920$$

수식의 양쪽을 -0.16(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=5750$$

0.1y+0.06x=1070에서 x을(를) 5750(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$0.1y+0.06\times 5750=1070$$

0.06에 5750을(를) 곱합니다.

$$0.1y+345=1070$$

수식의 양쪽에서 345을(를) 뺍니다.

$$0.1y=725$$

양쪽에 10을(를) 곱합니다.

$$y=7250$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=7250,x=5750$$