다음을 풀어보세요: {l}{y=x+1}{y=9x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { y = 9 x + 4 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=-\frac{3}{8}=-0.375$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=1$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 9x을(를) 뺍니다.

$$y-9x=4$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-x=1,y-9x=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-x=1$$

수식의 양쪽에 x을(를) 더합니다.

$$y=x+1$$

다른 수식 y-9x=4에서 x+1을(를) y(으)로 치환합니다.

$$x+1-9x=4$$

x을(를) -9x에 추가합니다.

$$-8x+1=4$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$-8x=3$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{3}{8}$$

y=x+1에서 x을(를) -\frac{3}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\frac{3}{8}+1$$

1을(를) -\frac{3}{8}에 추가합니다.

$$y=\frac{5}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{5}{8},x=-\frac{3}{8}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=1$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 9x을(를) 뺍니다.

$$y-9x=4$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-x=1,y-9x=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-9-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-9-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-9-\left(-1\right)}&\frac{1}{-9-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}-\frac{1}{8}\times 4\\\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\\-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{5}{8},x=-\frac{3}{8}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=1$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 9x을(를) 뺍니다.

$$y-9x=4$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-x=1,y-9x=4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 y-x=1에서 y-9x=4을(를) 뺍니다.

$$y-y-x+9x=1-4$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-x+9x=1-4$$

-x을(를) 9x에 추가합니다.

$$8x=1-4$$

1을(를) -4에 추가합니다.

$$8x=-3$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{3}{8}$$

y-9x=4에서 x을(를) -\frac{3}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y-9\left(-\frac{3}{8}\right)=4$$

-9에 -\frac{3}{8}을(를) 곱합니다.

$$y+\frac{27}{8}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{27}{8}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{5}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{5}{8},x=-\frac{3}{8}$$