다음을 풀어보세요: {l}{y=4x-9}{y=x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 9 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=2$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$y-4x=-9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-3$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-4x=-9$$

수식의 양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$y=4x-9$$

다른 수식 y-x=-3에서 4x-9을(를) y(으)로 치환합니다.

$$4x-9-x=-3$$

4x을(를) -x에 추가합니다.

$$3x-9=-3$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$3x=6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

y=4x-9에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=4\times 2-9$$

4에 2을(를) 곱합니다.

$$y=8-9$$

-9을(를) 8에 추가합니다.

$$y=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-1,x=2$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$y-4x=-9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-3$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{4}{3}\left(-3\right)\\-\frac{1}{3}\left(-9\right)+\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-1,x=2$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$y-4x=-9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=-3$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-4x=-9,y-x=-3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 y-4x=-9에서 y-x=-3을(를) 뺍니다.

$$y-y-4x+x=-9+3$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4x+x=-9+3$$

-4x을(를) x에 추가합니다.

$$-3x=-9+3$$

-9을(를) 3에 추가합니다.

$$-3x=-6$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

y-x=-3에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y-2=-3$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$y=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-1,x=2$$