다음을 풀어보세요: {l}{y=2x}{300x+200y=7000}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { 300 x + 200 y = 7000 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=10$$

$$y=20$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-2x=0$$

수식의 양쪽에 2x을(를) 더합니다.

$$y=2x$$

다른 수식 200y+300x=7000에서 2x을(를) y(으)로 치환합니다.

$$200\times 2x+300x=7000$$

200에 2x을(를) 곱합니다.

$$400x+300x=7000$$

400x을(를) 300x에 추가합니다.

$$700x=7000$$

양쪽을 700(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

y=2x에서 x을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=2\times 10$$

2에 10을(를) 곱합니다.

$$y=20$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=20,x=10$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{300-\left(-2\times 200\right)}&-\frac{-2}{300-\left(-2\times 200\right)}\\-\frac{200}{300-\left(-2\times 200\right)}&\frac{1}{300-\left(-2\times 200\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{350}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{700}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{350}\times 7000\\\frac{1}{700}\times 7000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=20,x=10$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

y 및 200y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 200을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$200y+200\left(-2\right)x=0,200y+300x=7000$$

단순화합니다.

$$200y-400x=0,200y+300x=7000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 200y-400x=0에서 200y+300x=7000을(를) 뺍니다.

$$200y-200y-400x-300x=-7000$$

200y을(를) -200y에 추가합니다. 200y 및 -200y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-400x-300x=-7000$$

-400x을(를) -300x에 추가합니다.

$$-700x=-7000$$

양쪽을 -700(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

200y+300x=7000에서 x을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$200y+300\times 10=7000$$

300에 10을(를) 곱합니다.

$$200y+3000=7000$$

수식의 양쪽에서 3000을(를) 뺍니다.

$$200y=4000$$

양쪽을 200(으)로 나눕니다.

$$y=20$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=20,x=10$$