다음을 풀어보세요: {l}{y=2x+8}{3x+2y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=-4$$

$$y=0$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=8$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-2x=8$$

수식의 양쪽에 2x을(를) 더합니다.

$$y=2x+8$$

다른 수식 2y+3x=-12에서 8+2x을(를) y(으)로 치환합니다.

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

2에 8+2x을(를) 곱합니다.

$$4x+16+3x=-12$$

4x을(를) 3x에 추가합니다.

$$7x+16=-12$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$7x=-28$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

y=2x+8에서 x을(를) -4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=2\left(-4\right)+8$$

2에 -4을(를) 곱합니다.

$$y=-8+8$$

8을(를) -8에 추가합니다.

$$y=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=0,x=-4$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=8$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=0,x=-4$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2x=8$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

y 및 2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

단순화합니다.

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2y-4x=16에서 2y+3x=-12을(를) 뺍니다.

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

2y을(를) -2y에 추가합니다. 2y 및 -2y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4x-3x=16+12$$

-4x을(를) -3x에 추가합니다.

$$-7x=16+12$$

16을(를) 12에 추가합니다.

$$-7x=28$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

2y+3x=-12에서 x을(를) -4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

3에 -4을(를) 곱합니다.

$$2y-12=-12$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$2y=0$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=0,x=-4$$