다음을 풀어보세요: {l}{y=-x-7}{5y+3x=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 7 } \\ { 5 y + 3 x = - 13 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=-11$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 x을(를) 더합니다.

$$y+x=-7$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y+x=-7$$

수식의 양쪽에서 x을(를) 뺍니다.

$$y=-x-7$$

다른 수식 5y+3x=-13에서 -x-7을(를) y(으)로 치환합니다.

$$5\left(-x-7\right)+3x=-13$$

5에 -x-7을(를) 곱합니다.

$$-5x-35+3x=-13$$

-5x을(를) 3x에 추가합니다.

$$-2x-35=-13$$

수식의 양쪽에 35을(를) 더합니다.

$$-2x=22$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-11$$

y=-x-7에서 x을(를) -11(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\left(-11\right)-7$$

-1에 -11을(를) 곱합니다.

$$y=11-7$$

-7을(를) 11에 추가합니다.

$$y=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=4,x=-11$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 x을(를) 더합니다.

$$y+x=-7$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{5}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=4,x=-11$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 x을(를) 더합니다.

$$y+x=-7$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

y 및 5y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$5y+5x=5\left(-7\right),5y+3x=-13$$

단순화합니다.

$$5y+5x=-35,5y+3x=-13$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5y+5x=-35에서 5y+3x=-13을(를) 뺍니다.

$$5y-5y+5x-3x=-35+13$$

5y을(를) -5y에 추가합니다. 5y 및 -5y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5x-3x=-35+13$$

5x을(를) -3x에 추가합니다.

$$2x=-35+13$$

-35을(를) 13에 추가합니다.

$$2x=-22$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-11$$

5y+3x=-13에서 x을(를) -11(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5y+3\left(-11\right)=-13$$

3에 -11을(를) 곱합니다.

$$5y-33=-13$$

수식의 양쪽에 33을(를) 더합니다.

$$5y=20$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=4,x=-11$$