다음을 풀어보세요: {l}{y=1/3x+4}{y=x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 4 } \\ { y = x + 10 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=-9$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{3}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=10$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-\frac{1}{3}x=4,y-x=10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

수식의 양쪽에 \frac{x}{3}을(를) 더합니다.

$$y=\frac{1}{3}x+4$$

다른 수식 y-x=10에서 \frac{x}{3}+4을(를) y(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{3}x+4-x=10$$

\frac{x}{3}을(를) -x에 추가합니다.

$$-\frac{2}{3}x+4=10$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$-\frac{2}{3}x=6$$

수식의 양쪽을 -\frac{2}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=-9$$

y=\frac{1}{3}x+4에서 x을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{1}{3}\left(-9\right)+4$$

\frac{1}{3}에 -9을(를) 곱합니다.

$$y=-3+4$$

4을(를) -3에 추가합니다.

$$y=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=1,x=-9$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{3}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=10$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-\frac{1}{3}x=4,y-x=10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 10\\\frac{3}{2}\times 4-\frac{3}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=1,x=-9$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{3}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$y-x=10$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-\frac{1}{3}x=4,y-x=10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 y-\frac{1}{3}x=4에서 y-x=10을(를) 뺍니다.

$$y-y-\frac{1}{3}x+x=4-10$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-\frac{1}{3}x+x=4-10$$

-\frac{x}{3}을(를) x에 추가합니다.

$$\frac{2}{3}x=4-10$$

4을(를) -10에 추가합니다.

$$\frac{2}{3}x=-6$$

수식의 양쪽을 \frac{2}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=-9$$

y-x=10에서 x을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y-\left(-9\right)=10$$

-1에 -9을(를) 곱합니다.

$$y+9=10$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$y=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=1,x=-9$$