다음을 풀어보세요: {l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=3$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{3}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{4}{3}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

수식의 양쪽에 \frac{x}{3}을(를) 더합니다.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

다른 수식 y-\frac{4}{3}x=-2에서 \frac{x}{3}+1을(를) y(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

\frac{x}{3}을(를) -\frac{4x}{3}에 추가합니다.

$$-x+1=-2$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$-x=-3$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

y=\frac{1}{3}x+1에서 x을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

\frac{1}{3}에 3을(를) 곱합니다.

$$y=1+1$$

1을(를) 1에 추가합니다.

$$y=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=2,x=3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{3}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{4}{3}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=2,x=3$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{3}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{4}{3}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 y-\frac{1}{3}x=1에서 y-\frac{4}{3}x=-2을(를) 뺍니다.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

-\frac{x}{3}을(를) \frac{4x}{3}에 추가합니다.

$$x=1+2$$

1을(를) 2에 추가합니다.

$$x=3$$

y-\frac{4}{3}x=-2에서 x을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

-\frac{4}{3}에 3을(를) 곱합니다.

$$y-4=-2$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$y=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=2,x=3$$