다음을 풀어보세요: {l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{2}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

수식의 양쪽에 \frac{x}{2}을(를) 더합니다.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

다른 수식 2y+3x=-2에서 \frac{x}{2}+1을(를) y(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

2에 \frac{x}{2}+1을(를) 곱합니다.

$$x+2+3x=-2$$

x을(를) 3x에 추가합니다.

$$4x+2=-2$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$4x=-4$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

y=\frac{1}{2}x+1에서 x을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

\frac{1}{2}에 -1을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

1을(를) -\frac{1}{2}에 추가합니다.

$$y=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{2}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{1}{2}x을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

y 및 2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

단순화합니다.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2y-x=2에서 2y+3x=-2을(를) 뺍니다.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

2y을(를) -2y에 추가합니다. 2y 및 -2y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-x-3x=2+2$$

-x을(를) -3x에 추가합니다.

$$-4x=2+2$$

2을(를) 2에 추가합니다.

$$-4x=4$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

2y+3x=-2에서 x을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

3에 -1을(를) 곱합니다.

$$2y-3=-2$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$2y=1$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$