다음을 풀어보세요: {l}{y+3x=56}{x+4y=34}

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y+3x=56$$

수식의 양쪽에서 3x을(를) 뺍니다.

$$y=-3x+56$$

다른 수식 4y+x=34에서 -3x+56을(를) y(으)로 치환합니다.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

4에 -3x+56을(를) 곱합니다.

$$-12x+224+x=34$$

-12x을(를) x에 추가합니다.

$$-11x+224=34$$

수식의 양쪽에서 224을(를) 뺍니다.

$$-11x=-190$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{190}{11}$$

y=-3x+56에서 x을(를) \frac{190}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

-3에 \frac{190}{11}을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

56을(를) -\frac{570}{11}에 추가합니다.

$$y=\frac{46}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

y 및 4y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

단순화합니다.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4y+12x=224에서 4y+x=34을(를) 뺍니다.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

4y을(를) -4y에 추가합니다. 4y 및 -4y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12x-x=224-34$$

12x을(를) -x에 추가합니다.

$$11x=224-34$$

224을(를) -34에 추가합니다.

$$11x=190$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{190}{11}$$

4y+x=34에서 x을(를) \frac{190}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

수식의 양쪽에서 \frac{190}{11}을(를) 뺍니다.

$$4y=\frac{184}{11}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{46}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$