다음을 풀어보세요: {l}{x_{6}=3x+y}{x_{3}=3y+x}

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 6 } = 3 x + y } \\ { x _ { 3 } = 3 y + x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3x+y=x_{6}$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3y+x=x_{3}$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+y=x_{6}$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x=-y+x_{6}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+x_{6}\right)$$

\frac{1}{3}에 -y+x_{6}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}$$

다른 수식 x+3y=x_{3}에서 \frac{-y+x_{6}}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}+3y=x_{3}$$

-\frac{y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{8}{3}y+\frac{x_{6}}{3}=x_{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{x_{6}}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{x_{6}}{3}+x_{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{8}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}에서 y을(를) \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

-\frac{1}{3}에 \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{x_{6}}{24}-\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

\frac{x_{6}}{3}을(를) -\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{24}에 추가합니다.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3x+y=x_{6}$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3y+x=x_{3}$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}x_{6}-\frac{1}{8}x_{3}\\-\frac{1}{8}x_{6}+\frac{3}{8}x_{3}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}\\\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3x+y=x_{6}$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3y+x=x_{3}$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

3x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3x+y=x_{6},3x+3\times 3y=3x_{3}$$

단순화합니다.

$$3x+y=x_{6},3x+9y=3x_{3}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+y=x_{6}에서 3x+9y=3x_{3}을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-8y=x_{6}-3x_{3}$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

x+3y=x_{3}에서 y을(를) \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+3\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}=x_{3}$$

3에 \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8}을(를) 곱합니다.

$$x+\frac{9x_{3}-3x_{6}}{8}=x_{3}$$

수식의 양쪽에서 \frac{-3x_{6}+9x_{3}}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$