다음을 풀어보세요: {l}{x-y=16}{2y=x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 16 } \\ { 2 y = x + 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=37$$

$$y=21$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$2y-x=5$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=16$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y+16$$

다른 수식 -x+2y=5에서 y+16을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(y+16\right)+2y=5$$

-1에 y+16을(를) 곱합니다.

$$-y-16+2y=5$$

-y을(를) 2y에 추가합니다.

$$y-16=5$$

수식의 양쪽에 16을(를) 더합니다.

$$y=21$$

x=y+16에서 y을(를) 21(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=21+16$$

16을(를) 21에 추가합니다.

$$x=37$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=37,y=21$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$2y-x=5$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 16+5\\16+5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}37\\21\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=37,y=21$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$2y-x=5$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=16,-x+2y=5$$

x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-x-\left(-y\right)=-16,-x+2y=5$$

단순화합니다.

$$-x+y=-16,-x+2y=5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -x+y=-16에서 -x+2y=5을(를) 뺍니다.

$$-x+x+y-2y=-16-5$$

-x을(를) x에 추가합니다. -x 및 x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-2y=-16-5$$

y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-y=-16-5$$

-16을(를) -5에 추가합니다.

$$-y=-21$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=21$$

-x+2y=5에서 y을(를) 21(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+2\times 21=5$$

2에 21을(를) 곱합니다.

$$-x+42=5$$

수식의 양쪽에서 42을(를) 뺍니다.

$$-x=-37$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=37$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=37,y=21$$