다음을 풀어보세요: {l}{x-4y=4}{7x-7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = 4 } \\ { 7 x - 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-4$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-4y=4$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$x=4y+4$$

다른 수식 7x-7y=-14에서 4+4y을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(4y+4\right)-7y=-14$$

7에 4+4y을(를) 곱합니다.

$$28y+28-7y=-14$$

28y을(를) -7y에 추가합니다.

$$21y+28=-14$$

수식의 양쪽에서 28을(를) 뺍니다.

$$21y=-42$$

양쪽을 21(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

x=4y+4에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=4\left(-2\right)+4$$

4에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=-8+4$$

4을(를) -8에 추가합니다.

$$x=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-4,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{21}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{21}\left(-14\right)\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{21}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-4,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$7x+7\left(-4\right)y=7\times 4,7x-7y=-14$$

단순화합니다.

$$7x-28y=28,7x-7y=-14$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 7x-28y=28에서 7x-7y=-14을(를) 뺍니다.

$$7x-7x-28y+7y=28+14$$

7x을(를) -7x에 추가합니다. 7x 및 -7x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-28y+7y=28+14$$

-28y을(를) 7y에 추가합니다.

$$-21y=28+14$$

28을(를) 14에 추가합니다.

$$-21y=42$$

양쪽을 -21(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

7x-7y=-14에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x-7\left(-2\right)=-14$$

-7에 -2을(를) 곱합니다.

$$7x+14=-14$$

수식의 양쪽에서 14을(를) 뺍니다.

$$7x=-28$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-4,y=-2$$