다음을 풀어보세요: {l}{x-3y+9=0}{3x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{26}{7} = 3\frac{5}{7} \approx 3.714285714$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-3y+9=0$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$x-3y=-9$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$x=3y-9$$

다른 수식 3x-2y+1=0에서 -9+3y을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(3y-9\right)-2y+1=0$$

3에 -9+3y을(를) 곱합니다.

$$9y-27-2y+1=0$$

9y을(를) -2y에 추가합니다.

$$7y-27+1=0$$

-27을(를) 1에 추가합니다.

$$7y-26=0$$

수식의 양쪽에 26을(를) 더합니다.

$$7y=26$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{26}{7}$$

x=3y-9에서 y을(를) \frac{26}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=3\times \frac{26}{7}-9$$

3에 \frac{26}{7}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{78}{7}-9$$

-9을(를) \frac{78}{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{15}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{3}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{26}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-3y+9=0,3x-2y+1=0$$

x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,3x-2y+1=0$$

단순화합니다.

$$3x-9y+27=0,3x-2y+1=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x-9y+27=0에서 3x-2y+1=0을(를) 뺍니다.

$$3x-3x-9y+2y+27-1=0$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-9y+2y+27-1=0$$

-9y을(를) 2y에 추가합니다.

$$-7y+27-1=0$$

27을(를) -1에 추가합니다.

$$-7y+26=0$$

수식의 양쪽에서 26을(를) 뺍니다.

$$-7y=-26$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{26}{7}$$

3x-2y+1=0에서 y을(를) \frac{26}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x-2\times \frac{26}{7}+1=0$$

-2에 \frac{26}{7}을(를) 곱합니다.

$$3x-\frac{52}{7}+1=0$$

-\frac{52}{7}을(를) 1에 추가합니다.

$$3x-\frac{45}{7}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{45}{7}을(를) 더합니다.

$$3x=\frac{45}{7}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{15}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{26}{7}$$