다음을 풀어보세요: {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=10$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-3-y=0$$

양쪽에 3을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x-y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$37-3x-y=0$$

양쪽 모두에서 37을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$-3x-y=-37$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-y=3$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$x=y+3$$

다른 수식 -3x-y=-37에서 y+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

-3에 y+3을(를) 곱합니다.

$$-3y-9-y=-37$$

-3y을(를) -y에 추가합니다.

$$-4y-9=-37$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$-4y=-28$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

x=y+3에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=7+3$$

3을(를) 7에 추가합니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=7$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-3-y=0$$

양쪽에 3을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x-y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$37-3x-y=0$$

양쪽 모두에서 37을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$-3x-y=-37$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=10,y=7$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x-3-y=0$$

양쪽에 3을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x-y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$37-3x-y=0$$

양쪽 모두에서 37을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$-3x-y=-37$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x-y=3에서 -3x-y=-37을(를) 뺍니다.

$$x+3x-y+y=3+37$$

-y을(를) y에 추가합니다. -y 및 y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$x+3x=3+37$$

x을(를) 3x에 추가합니다.

$$4x=3+37$$

3을(를) 37에 추가합니다.

$$4x=40$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

-3x-y=-37에서 x을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3\times 10-y=-37$$

-3에 10을(를) 곱합니다.

$$-30-y=-37$$

수식의 양쪽에 30을(를) 더합니다.

$$-y=-7$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=7$$