다음을 풀어보세요: {l}{x-2y=-11}{3x+7y=32}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = - 11 } \\ { 3 x + 7 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-1$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-2y=-11$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$x=2y-11$$

다른 수식 3x+7y=32에서 2y-11을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(2y-11\right)+7y=32$$

3에 2y-11을(를) 곱합니다.

$$6y-33+7y=32$$

6y을(를) 7y에 추가합니다.

$$13y-33=32$$

수식의 양쪽에 33을(를) 더합니다.

$$13y=65$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=2y-11에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=2\times 5-11$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=10-11$$

-11을(를) 10에 추가합니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\left(-11\right)+\frac{2}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-11\right)+\frac{1}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-11\right),3x+7y=32$$

단순화합니다.

$$3x-6y=-33,3x+7y=32$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x-6y=-33에서 3x+7y=32을(를) 뺍니다.

$$3x-3x-6y-7y=-33-32$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y-7y=-33-32$$

-6y을(를) -7y에 추가합니다.

$$-13y=-33-32$$

-33을(를) -32에 추가합니다.

$$-13y=-65$$

양쪽을 -13(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

3x+7y=32에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+7\times 5=32$$

7에 5을(를) 곱합니다.

$$3x+35=32$$

수식의 양쪽에서 35을(를) 뺍니다.

$$3x=-3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=5$$