다음을 풀어보세요: {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x+36-3y=0$$

양쪽 모두에서 36을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x-3y=-36$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=90$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+90$$

다른 수식 x-3y=-36에서 -y+90을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-y+90-3y=-36$$

-y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-4y+90=-36$$

수식의 양쪽에서 90을(를) 뺍니다.

$$-4y=-126$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{63}{2}$$

x=-y+90에서 y을(를) \frac{63}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

90을(를) -\frac{63}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{117}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x+36-3y=0$$

양쪽 모두에서 36을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x-3y=-36$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x+36-3y=0$$

양쪽 모두에서 36을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x-3y=-36$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x+y=90에서 x-3y=-36을(를) 뺍니다.

$$x-x+y+3y=90+36$$

x을(를) -x에 추가합니다. x 및 -x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y+3y=90+36$$

y을(를) 3y에 추가합니다.

$$4y=90+36$$

90을(를) 36에 추가합니다.

$$4y=126$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{63}{2}$$

x-3y=-36에서 y을(를) \frac{63}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

-3에 \frac{63}{2}을(를) 곱합니다.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

수식의 양쪽에 \frac{189}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{117}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$