다음을 풀어보세요: {l}{x+y=8}{y=3x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { y = 3 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$y-3x=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=8$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+8$$

다른 수식 -3x+y=0에서 -y+8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(-y+8\right)+y=0$$

-3에 -y+8을(를) 곱합니다.

$$3y-24+y=0$$

3y을(를) y에 추가합니다.

$$4y-24=0$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$4y=24$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

x=-y+8에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-6+8$$

8을(를) -6에 추가합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=6$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$y-3x=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8\\\frac{3}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=6$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$y-3x=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=8,-3x+y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x+y=8에서 -3x+y=0을(를) 뺍니다.

$$x+3x+y-y=8$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$x+3x=8$$

x을(를) 3x에 추가합니다.

$$4x=8$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

-3x+y=0에서 x을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3\times 2+y=0$$

-3에 2을(를) 곱합니다.

$$-6+y=0$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$y=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=6$$