다음을 풀어보세요: {l}{x+y=500}{25x+35y=14500}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 14500 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=300$$

$$y=200$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=500,25x+35y=14500$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=500$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+500$$

다른 수식 25x+35y=14500에서 -y+500을(를) x(으)로 치환합니다.

$$25\left(-y+500\right)+35y=14500$$

25에 -y+500을(를) 곱합니다.

$$-25y+12500+35y=14500$$

-25y을(를) 35y에 추가합니다.

$$10y+12500=14500$$

수식의 양쪽에서 12500을(를) 뺍니다.

$$10y=2000$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$y=200$$

x=-y+500에서 y을(를) 200(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-200+500$$

500을(를) -200에 추가합니다.

$$x=300$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=300,y=200$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=500,25x+35y=14500$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 14500\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 14500\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=300,y=200$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=500,25x+35y=14500$$

x 및 25x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 25을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=14500$$

단순화합니다.

$$25x+25y=12500,25x+35y=14500$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 25x+25y=12500에서 25x+35y=14500을(를) 뺍니다.

$$25x-25x+25y-35y=12500-14500$$

25x을(를) -25x에 추가합니다. 25x 및 -25x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$25y-35y=12500-14500$$

25y을(를) -35y에 추가합니다.

$$-10y=12500-14500$$

12500을(를) -14500에 추가합니다.

$$-10y=-2000$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$y=200$$

25x+35y=14500에서 y을(를) 200(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$25x+35\times 200=14500$$

35에 200을(를) 곱합니다.

$$25x+7000=14500$$

수식의 양쪽에서 7000을(를) 뺍니다.

$$25x=7500$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$x=300$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=300,y=200$$