다음을 풀어보세요: {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=250$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+250$$

다른 수식 \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19에서 -y+250을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

\frac{1}{19}에 -y+250을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

-\frac{y}{19}을(를) \frac{y}{10}에 추가합니다.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

수식의 양쪽에서 \frac{250}{19}을(를) 뺍니다.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

수식의 양쪽을 \frac{9}{190}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{370}{3}$$

x=-y+250에서 y을(를) \frac{370}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

250을(를) -\frac{370}{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{380}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

x 및 \frac{x}{19}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{19}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

단순화합니다.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19}에서 \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

\frac{x}{19}을(를) -\frac{x}{19}에 추가합니다. \frac{x}{19} 및 -\frac{x}{19}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

\frac{y}{19}을(를) -\frac{y}{10}에 추가합니다.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

\frac{250}{19}을(를) -19에 추가합니다.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

수식의 양쪽을 -\frac{9}{190}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{370}{3}$$

\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19에서 y을(를) \frac{370}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{1}{10}에 \frac{370}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

수식의 양쪽에서 \frac{37}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

양쪽에 19을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{380}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$