다음을 풀어보세요: {l}{x+y=10}{x*5=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { x \times 5 = y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x\times 5-y=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+y=10,5x-y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+y=10$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$x=-y+10$$

다른 수식 5x-y=0에서 -y+10을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-y+10\right)-y=0$$

5에 -y+10을(를) 곱합니다.

$$-5y+50-y=0$$

-5y을(를) -y에 추가합니다.

$$-6y+50=0$$

수식의 양쪽에서 50을(를) 뺍니다.

$$-6y=-50$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{25}{3}$$

x=-y+10에서 y을(를) \frac{25}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{25}{3}+10$$

10을(를) -\frac{25}{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{5}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x\times 5-y=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+y=10,5x-y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{1}{-1-5}\\-\frac{5}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10\\\frac{5}{6}\times 10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x\times 5-y=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+y=10,5x-y=0$$

x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$5x+5y=5\times 10,5x-y=0$$

단순화합니다.

$$5x+5y=50,5x-y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x+5y=50에서 5x-y=0을(를) 뺍니다.

$$5x-5x+5y+y=50$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y+y=50$$

5y을(를) y에 추가합니다.

$$6y=50$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{25}{3}$$

5x-y=0에서 y을(를) \frac{25}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x-\frac{25}{3}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{25}{3}을(를) 더합니다.

$$5x=\frac{25}{3}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}$$