다음을 풀어보세요: {l}{x+5y=1}{3x+4y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+5y=1$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$x=-5y+1$$

다른 수식 3x+4y=4에서 -5y+1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

3에 -5y+1을(를) 곱합니다.

$$-15y+3+4y=4$$

-15y을(를) 4y에 추가합니다.

$$-11y+3=4$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$-11y=1$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{11}$$

x=-5y+1에서 y을(를) -\frac{1}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

-5에 -\frac{1}{11}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{11}+1$$

1을(를) \frac{5}{11}에 추가합니다.

$$x=\frac{16}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

단순화합니다.

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+15y=3에서 3x+4y=4을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$15y-4y=3-4$$

15y을(를) -4y에 추가합니다.

$$11y=3-4$$

3을(를) -4에 추가합니다.

$$11y=-1$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{11}$$

3x+4y=4에서 y을(를) -\frac{1}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

4에 -\frac{1}{11}을(를) 곱합니다.

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

수식의 양쪽에 \frac{4}{11}을(를) 더합니다.

$$3x=\frac{48}{11}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{16}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$