다음을 풀어보세요: {l}{x+5=3y}{y-2=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 = 3 y } \\ { y - 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x+5-3y=0$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x-3y=-5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2-2x=0$$

양쪽에 2을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$y-2x=2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-3y=-5$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$x=3y-5$$

다른 수식 -2x+y=2에서 3y-5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(3y-5\right)+y=2$$

-2에 3y-5을(를) 곱합니다.

$$-6y+10+y=2$$

-6y을(를) y에 추가합니다.

$$-5y+10=2$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$-5y=-8$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{8}{5}$$

x=3y-5에서 y을(를) \frac{8}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=3\times \frac{8}{5}-5$$

3에 \frac{8}{5}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{24}{5}-5$$

-5을(를) \frac{24}{5}에 추가합니다.

$$x=-\frac{1}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x+5-3y=0$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x-3y=-5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2-2x=0$$

양쪽에 2을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$y-2x=2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x+5-3y=0$$

양쪽 모두에서 5을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x-3y=-5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y-2-2x=0$$

양쪽에 2을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$y-2x=2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-5\right),-2x+y=2$$

단순화합니다.

$$-2x+6y=10,-2x+y=2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x+6y=10에서 -2x+y=2을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x+6y-y=10-2$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y-y=10-2$$

6y을(를) -y에 추가합니다.

$$5y=10-2$$

10을(를) -2에 추가합니다.

$$5y=8$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{8}{5}$$

-2x+y=2에서 y을(를) \frac{8}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+\frac{8}{5}=2$$

수식의 양쪽에서 \frac{8}{5}을(를) 뺍니다.

$$-2x=\frac{2}{5}$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$