다음을 풀어보세요: {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+3y=7$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x=-3y+7$$

다른 수식 3x+y=17에서 -3y+7을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

3에 -3y+7을(를) 곱합니다.

$$-9y+21+y=17$$

-9y을(를) y에 추가합니다.

$$-8y+21=17$$

수식의 양쪽에서 21을(를) 뺍니다.

$$-8y=-4$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-3y+7에서 y을(를) \frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

-3에 \frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

7을(를) -\frac{3}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{11}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

단순화합니다.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+9y=21에서 3x+y=17을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$9y-y=21-17$$

9y을(를) -y에 추가합니다.

$$8y=21-17$$

21을(를) -17에 추가합니다.

$$8y=4$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{2}$$

3x+y=17에서 y을(를) \frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$3x=\frac{33}{2}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{11}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$