다음을 풀어보세요: {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+2y=10$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$x=-2y+10$$

다른 수식 -2x+3y=5에서 -2y+10을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

-2에 -2y+10을(를) 곱합니다.

$$4y-20+3y=5$$

4y을(를) 3y에 추가합니다.

$$7y-20=5$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$7y=25$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{25}{7}$$

x=-2y+10에서 y을(를) \frac{25}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

-2에 \frac{25}{7}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

10을(를) -\frac{50}{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{20}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

단순화합니다.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x-4y=-20에서 -2x+3y=5을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y-3y=-20-5$$

-4y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-7y=-20-5$$

-20을(를) -5에 추가합니다.

$$-7y=-25$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{25}{7}$$

-2x+3y=5에서 y을(를) \frac{25}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

3에 \frac{25}{7}을(를) 곱합니다.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

수식의 양쪽에서 \frac{75}{7}을(를) 뺍니다.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{20}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$