다음을 풀어보세요: {l}{x+2y=-8}{y=-3/2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { y = - \frac { 3 } { 2 } x - 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=-5$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{3}{2}x을(를) 더합니다.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+2y=-8$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$x=-2y-8$$

다른 수식 \frac{3}{2}x+y=-2에서 -2y-8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{3}{2}\left(-2y-8\right)+y=-2$$

\frac{3}{2}에 -2y-8을(를) 곱합니다.

$$-3y-12+y=-2$$

-3y을(를) y에 추가합니다.

$$-2y-12=-2$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$-2y=10$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

x=-2y-8에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\left(-5\right)-8$$

-2에 -5을(를) 곱합니다.

$$x=10-8$$

-8을(를) 10에 추가합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-5$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{3}{2}x을(를) 더합니다.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}&-\frac{2}{1-2\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{1-2\times \frac{3}{2}}&\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-8\right)-2\\\frac{3}{4}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=-5$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 \frac{3}{2}x을(를) 더합니다.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

x 및 \frac{3x}{2}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{3}{2}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\times 2y=\frac{3}{2}\left(-8\right),\frac{3}{2}x+y=-2$$

단순화합니다.

$$\frac{3}{2}x+3y=-12,\frac{3}{2}x+y=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{3}{2}x+3y=-12에서 \frac{3}{2}x+y=-2을(를) 뺍니다.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x+3y-y=-12+2$$

\frac{3x}{2}을(를) -\frac{3x}{2}에 추가합니다. \frac{3x}{2} 및 -\frac{3x}{2}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3y-y=-12+2$$

3y을(를) -y에 추가합니다.

$$2y=-12+2$$

-12을(를) 2에 추가합니다.

$$2y=-10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-5$$

\frac{3}{2}x+y=-2에서 y을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{3}{2}x-5=-2$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$\frac{3}{2}x=3$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-5$$