다음을 풀어보세요: {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

p, q에 대한 해

$$p=-2$$

$$q=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 p을(를) 고립시켜 p에 대한 해를 찾습니다.

$$p+2q=4$$

수식의 양쪽에서 2q을(를) 뺍니다.

$$p=-2q+4$$

다른 수식 -3p+4q=18에서 -2q+4을(를) p(으)로 치환합니다.

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

-3에 -2q+4을(를) 곱합니다.

$$6q-12+4q=18$$

6q을(를) 4q에 추가합니다.

$$10q-12=18$$

수식의 양쪽에 12을(를) 더합니다.

$$10q=30$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$q=3$$

p=-2q+4에서 q을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 p에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$p=-2\times 3+4$$

-2에 3을(를) 곱합니다.

$$p=-6+4$$

4을(를) -6에 추가합니다.

$$p=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$p=-2,q=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 p 및 q을(를) 추출합니다.

$$p=-2,q=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

p 및 -3p을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

단순화합니다.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3p-6q=-12에서 -3p+4q=18을(를) 뺍니다.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

-3p을(를) 3p에 추가합니다. -3p 및 3p이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6q-4q=-12-18$$

-6q을(를) -4q에 추가합니다.

$$-10q=-12-18$$

-12을(를) -18에 추가합니다.

$$-10q=-30$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$q=3$$

-3p+4q=18에서 q을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 p에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3p+4\times 3=18$$

4에 3을(를) 곱합니다.

$$-3p+12=18$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$-3p=6$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$p=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$p=-2,q=3$$