다음을 풀어보세요: {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

수식의 양쪽에 ny을(를) 더합니다.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

양쪽을 m(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m}에 ny+m^{2}+n^{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

다른 수식 x+y=2m에서 \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

\frac{ny}{m}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

수식의 양쪽에서 m+\frac{n^{2}}{m}을(를) 뺍니다.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

양쪽을 \frac{m+n}{m}(으)로 나눕니다.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m에서 y을(를) m-n(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m}에 m-n을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m+\frac{n^{2}}{m}을(를) \frac{n\left(m-n\right)}{m}에 추가합니다.

$$x=m+n$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=m+n,y=m-n$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=m+n,y=m-n$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 m을(를) 곱합니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

단순화합니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}에서 mx+my=2m^{2}을(를) 뺍니다.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

mx을(를) -mx에 추가합니다. mx 및 -mx이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-ny을(를) -my에 추가합니다.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

m^{2}+n^{2}을(를) -2m^{2}에 추가합니다.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

양쪽을 -m-n(으)로 나눕니다.

$$y=m-n$$

x+y=2m에서 y을(를) m-n(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+m-n=2m$$

수식의 양쪽에서 m-n을(를) 뺍니다.

$$x=m+n$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=m+n,y=m-n$$

x, y에 대한 해

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

수식의 양쪽에 ny을(를) 더합니다.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

양쪽을 m(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m}에 ny+m^{2}+n^{2}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

다른 수식 x+y=2m에서 \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

\frac{ny}{m}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

수식의 양쪽에서 m+\frac{n^{2}}{m}을(를) 뺍니다.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

양쪽을 \frac{m+n}{m}(으)로 나눕니다.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m에서 y을(를) m-n(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m}에 m-n을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m+\frac{n^{2}}{m}을(를) \frac{n\left(m-n\right)}{m}에 추가합니다.

$$x=m+n$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=m+n,y=m-n$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=m+n,y=m-n$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 m을(를) 곱합니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

단순화합니다.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}에서 mx+my=2m^{2}을(를) 뺍니다.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

mx을(를) -mx에 추가합니다. mx 및 -mx이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-ny을(를) -my에 추가합니다.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

m^{2}+n^{2}을(를) -2m^{2}에 추가합니다.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

양쪽을 -m-n(으)로 나눕니다.

$$y=m-n$$

x+y=2m에서 y을(를) m-n(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+m-n=2m$$

수식의 양쪽에서 m-n을(를) 뺍니다.

$$x=m+n$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=m+n,y=m-n$$