다음을 풀어보세요: {l}{m+5n=15}{2/5m-n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 5 n = 15 } \\ { \frac { 2 } { 5 } m - n = 3 } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m=10$$

$$n=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$m+5n=15$$

수식의 양쪽에서 5n을(를) 뺍니다.

$$m=-5n+15$$

다른 수식 \frac{2}{5}m-n=3에서 -5n+15을(를) m(으)로 치환합니다.

$$\frac{2}{5}\left(-5n+15\right)-n=3$$

\frac{2}{5}에 -5n+15을(를) 곱합니다.

$$-2n+6-n=3$$

-2n을(를) -n에 추가합니다.

$$-3n+6=3$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$-3n=-3$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$n=1$$

m=-5n+15에서 n을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=-5+15$$

15을(를) -5에 추가합니다.

$$m=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=10,n=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5\times \frac{2}{5}}&-\frac{5}{-1-5\times \frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-1-5\times \frac{2}{5}}&\frac{1}{-1-5\times \frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{5}{3}\times 3\\\frac{2}{15}\times 15-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=10,n=1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

m 및 \frac{2m}{5}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{2}{5}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{5}m+\frac{2}{5}\times 5n=\frac{2}{5}\times 15,\frac{2}{5}m-n=3$$

단순화합니다.

$$\frac{2}{5}m+2n=6,\frac{2}{5}m-n=3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{2}{5}m+2n=6에서 \frac{2}{5}m-n=3을(를) 뺍니다.

$$\frac{2}{5}m-\frac{2}{5}m+2n+n=6-3$$

\frac{2m}{5}을(를) -\frac{2m}{5}에 추가합니다. \frac{2m}{5} 및 -\frac{2m}{5}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2n+n=6-3$$

2n을(를) n에 추가합니다.

$$3n=6-3$$

6을(를) -3에 추가합니다.

$$3n=3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$n=1$$

\frac{2}{5}m-n=3에서 n을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{2}{5}m-1=3$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$\frac{2}{5}m=4$$

수식의 양쪽을 \frac{2}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$m=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=10,n=1$$