다음을 풀어보세요: {l}{m+2n=5}{n-2m+2=7}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m=-1$$

$$n=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$m+2n=5$$

수식의 양쪽에서 2n을(를) 뺍니다.

$$m=-2n+5$$

다른 수식 -2m+n+2=7에서 -2n+5을(를) m(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

-2에 -2n+5을(를) 곱합니다.

$$4n-10+n+2=7$$

4n을(를) n에 추가합니다.

$$5n-10+2=7$$

-10을(를) 2에 추가합니다.

$$5n-8=7$$

수식의 양쪽에 8을(를) 더합니다.

$$5n=15$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$n=3$$

m=-2n+5에서 n을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=-2\times 3+5$$

-2에 3을(를) 곱합니다.

$$m=-6+5$$

5을(를) -6에 추가합니다.

$$m=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=-1,n=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=-1,n=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

m 및 -2m을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

단순화합니다.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2m-4n=-10에서 -2m+n+2=7을(를) 뺍니다.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

-2m을(를) 2m에 추가합니다. -2m 및 2m이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4n-n-2=-10-7$$

-4n을(를) -n에 추가합니다.

$$-5n-2=-10-7$$

-10을(를) -7에 추가합니다.

$$-5n-2=-17$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$-5n=-15$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$n=3$$

-2m+n+2=7에서 n을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2m+3+2=7$$

3을(를) 2에 추가합니다.

$$-2m+5=7$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-2m=2$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$m=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=-1,n=3$$