다음을 풀어보세요: {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$cx+y=69$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$cx=-y+69$$

양쪽을 c(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

\frac{1}{c}에 -y+69을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

다른 수식 2x+y=87에서 \frac{69-y}{c}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

2에 \frac{69-y}{c}을(를) 곱합니다.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

-\frac{2y}{c}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

수식의 양쪽에서 \frac{138}{c}을(를) 뺍니다.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

양쪽을 \frac{-2+c}{c}(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}에서 y을(를) \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

-\frac{1}{c}에 \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

\frac{69}{c}을(를) -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}에 추가합니다.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 cx+y=69에서 2x+y=87을(를) 뺍니다.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

y을(를) -y에 추가합니다. y 및 -y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$cx-2x=69-87$$

cx을(를) -2x에 추가합니다.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

69을(를) -87에 추가합니다.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

양쪽을 c-2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

2x+y=87에서 x을(를) -\frac{18}{c-2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

2에 -\frac{18}{c-2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

수식의 양쪽에 \frac{36}{c-2}을(를) 더합니다.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$