다음을 풀어보세요: {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$12bx-15y=-4$$

수식의 양쪽에 15y을(를) 더합니다.

$$12bx=15y-4$$

양쪽을 12b(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

\frac{1}{12b}에 15y-4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

다른 수식 16x+10y=7에서 \frac{-4+15y}{12b}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

16에 \frac{-4+15y}{12b}을(를) 곱합니다.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

\frac{20y}{b}을(를) 10y에 추가합니다.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

수식의 양쪽에 \frac{16}{3b}을(를) 더합니다.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

양쪽을 \frac{20}{b}+10(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}에서 y을(를) \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

\frac{5}{4b}에 \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

-\frac{1}{3b}을(를) \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}에 추가합니다.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

12bx 및 16x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 16을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 12b을(를) 곱합니다.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

단순화합니다.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 192bx-240y=-64에서 192bx+120by=84b을(를) 뺍니다.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

192bx을(를) -192bx에 추가합니다. 192bx 및 -192bx이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

-240y을(를) -120by에 추가합니다.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

-64을(를) -84b에 추가합니다.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

양쪽을 -240-120b(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

16x+10y=7에서 y을(를) \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

10에 \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}을(를) 곱합니다.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)}을(를) 뺍니다.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$