다음을 풀어보세요: {l}{9x-7y=-19}{3x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$9x-7y=-19$$

수식의 양쪽에 7y을(를) 더합니다.

$$9x=7y-19$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

\frac{1}{9}에 7y-19을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

다른 수식 3x+y=7에서 \frac{7y-19}{9}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

3에 \frac{7y-19}{9}을(를) 곱합니다.

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

\frac{7y}{3}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

수식의 양쪽에 \frac{19}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{10}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=4$$

x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

\frac{7}{9}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{28-19}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{19}{9}을(를) \frac{28}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

9x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

단순화합니다.

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 27x-21y=-57에서 27x+9y=63을(를) 뺍니다.

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

27x을(를) -27x에 추가합니다. 27x 및 -27x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-21y-9y=-57-63$$

-21y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-30y=-57-63$$

-57을(를) -63에 추가합니다.

$$-30y=-120$$

양쪽을 -30(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

3x+y=7에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+4=7$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$3x=3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=4$$