다음을 풀어보세요: {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$9x-3y-13=0$$

수식의 양쪽에 13을(를) 더합니다.

$$9x-3y=13$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$9x=3y+13$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

\frac{1}{9}에 3y+13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

다른 수식 2x+y-4=0에서 \frac{y}{3}+\frac{13}{9}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

2에 \frac{y}{3}+\frac{13}{9}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

\frac{2y}{3}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

\frac{26}{9}을(를) -4에 추가합니다.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{10}{9}을(를) 더합니다.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}에서 y을(를) \frac{2}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{1}{3}에 \frac{2}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{13}{9}을(를) \frac{2}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

9x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

단순화합니다.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18x-6y-26=0에서 18x+9y-36=0을(를) 뺍니다.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

18x을(를) -18x에 추가합니다. 18x 및 -18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y-9y-26+36=0$$

-6y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-15y-26+36=0$$

-26을(를) 36에 추가합니다.

$$-15y+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$-15y=-10$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{2}{3}$$

2x+y-4=0에서 y을(를) \frac{2}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

\frac{2}{3}을(를) -4에 추가합니다.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{10}{3}을(를) 더합니다.

$$2x=\frac{10}{3}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$