다음을 풀어보세요: {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=9$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$9x+y=88$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$9x=-y+88$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

\frac{1}{9}에 -y+88을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

다른 수식 7x-8y=7에서 \frac{-y+88}{9}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

7에 \frac{-y+88}{9}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

-\frac{7y}{9}을(를) -8y에 추가합니다.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{616}{9}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

수식의 양쪽을 -\frac{79}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=7$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

-\frac{1}{9}에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{88}{9}을(를) -\frac{7}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=9,y=7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

9x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

단순화합니다.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 63x+7y=616에서 63x-72y=63을(를) 뺍니다.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

63x을(를) -63x에 추가합니다. 63x 및 -63x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$7y+72y=616-63$$

7y을(를) 72y에 추가합니다.

$$79y=616-63$$

616을(를) -63에 추가합니다.

$$79y=553$$

양쪽을 79(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

7x-8y=7에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x-8\times 7=7$$

-8에 7을(를) 곱합니다.

$$7x-56=7$$

수식의 양쪽에 56을(를) 더합니다.

$$7x=63$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=7$$