다음을 풀어보세요: {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$9x+my+3=0$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$9x+my=-3$$

수식의 양쪽에서 my을(를) 뺍니다.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

\frac{1}{9}에 -my-3을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

다른 수식 mx+4y+2=0에서 -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

m에 -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}을(를) 곱합니다.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

-\frac{m^{2}y}{9}을(를) 4y에 추가합니다.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

수식의 양쪽에서 -\frac{m}{3}+2을(를) 뺍니다.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

양쪽을 -\frac{m^{2}}{9}+4(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}에서 y을(를) -\frac{3}{6+m}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{m}{9}에 -\frac{3}{6+m}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3}을(를) \frac{m}{3\left(6+m\right)}에 추가합니다.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x 및 mx을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 m을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

단순화합니다.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 9mx+m^{2}y+3m=0에서 9mx+36y+18=0을(를) 뺍니다.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

9mx을(를) -9mx에 추가합니다. 9mx 및 -9mx이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

m^{2}y을(를) -36y에 추가합니다.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

수식의 양쪽에서 -18+3m을(를) 뺍니다.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

양쪽을 m^{2}-36(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

mx+4y+2=0에서 y을(를) -\frac{3}{6+m}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

4에 -\frac{3}{6+m}을(를) 곱합니다.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

-\frac{12}{6+m}을(를) 2에 추가합니다.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{2m}{6+m}을(를) 뺍니다.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

양쪽을 m(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

x, y에 대한 해

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$9x+my+3=0$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$9x+my=-3$$

수식의 양쪽에서 my을(를) 뺍니다.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

\frac{1}{9}에 -my-3을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

다른 수식 mx+4y+2=0에서 -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

m에 -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}을(를) 곱합니다.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

-\frac{m^{2}y}{9}을(를) 4y에 추가합니다.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

수식의 양쪽에서 -\frac{m}{3}+2을(를) 뺍니다.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

양쪽을 -\frac{m^{2}}{9}+4(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}에서 y을(를) -\frac{3}{6+m}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{m}{9}에 -\frac{3}{6+m}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3}을(를) \frac{m}{3\left(6+m\right)}에 추가합니다.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x 및 mx을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 m을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

단순화합니다.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 9mx+m^{2}y+3m=0에서 9mx+36y+18=0을(를) 뺍니다.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

9mx을(를) -9mx에 추가합니다. 9mx 및 -9mx이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

m^{2}y을(를) -36y에 추가합니다.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

수식의 양쪽에서 -18+3m을(를) 뺍니다.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

양쪽을 m^{2}-36(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

mx+4y+2=0에서 y을(를) -\frac{3}{6+m}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

4에 -\frac{3}{6+m}을(를) 곱합니다.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

-\frac{12}{6+m}을(를) 2에 추가합니다.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{2m}{6+m}을(를) 뺍니다.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

양쪽을 m(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$