다음을 풀어보세요: {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$9x+7y=6$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$9x=-7y+6$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

\frac{1}{9}에 -7y+6을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

다른 수식 8x+3y=9에서 -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

8에 -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

-\frac{56y}{9}을(를) 3y에 추가합니다.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{16}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{29}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{33}{29}$$

x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}에서 y을(를) -\frac{33}{29}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{7}{9}에 -\frac{33}{29}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{3}을(를) \frac{77}{87}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{45}{29}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

9x 및 8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

단순화합니다.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 72x+56y=48에서 72x+27y=81을(를) 뺍니다.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

72x을(를) -72x에 추가합니다. 72x 및 -72x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$56y-27y=48-81$$

56y을(를) -27y에 추가합니다.

$$29y=48-81$$

48을(를) -81에 추가합니다.

$$29y=-33$$

양쪽을 29(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{33}{29}$$

8x+3y=9에서 y을(를) -\frac{33}{29}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

3에 -\frac{33}{29}을(를) 곱합니다.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

수식의 양쪽에 \frac{99}{29}을(를) 더합니다.

$$8x=\frac{360}{29}$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{45}{29}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$